En este caso, la integral que queremos resolver es: $\int 8x \sqrt[3]{x^2 - 1} \, dx$ Vamos a tomar la sustitución: $u = x^2 - 1$ $du = 2x \, dx \Rightarrow \frac{du}{2} = x \, dx$ Escribimos nuestra integral en términos de $u$: $\int 8x \sqrt[3]{x^2 - 1} \, dx =  \int 8 \cdot \sqrt[3]{u} \, \frac{du}{2} =  \int 4 \cdot \sqrt[3]{u} \, du$ Antes de integrar, reescribimos $\sqrt[3]{u}$ como $u^{1/3}$ $4 \cdot \int u^{1/3} \, du$ Y ahora integramos :) $4 \int u^{1/3} \, du = 4 \cdot \frac{3}{4}u^{4/3} + C = 3u^{4/3} + C$ No te olvides que tenemos que volver a la variable original $x$: $3u^{4/3} + C = 3(x^2 - 1)^{4/3} + C$ Por lo tanto, el resultado de la integral es: $\int 8x \sqrt[3]{x^2 - 1} \, dx = 3(x^2 - 1)^{4/3} + C$